Question

5．在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中點分別為M，N，則|$\overrightarrow{MN}$|的最小值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．由$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），可得$\overrightarrow{AE}$=（m，0），$\overrightarrow{AF}$=（0，n）．利用$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}）$，$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．可得$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=$（\frac{1-m}{2}，\frac{1-n}{2}）$．再利用向量數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系
B（1，0），C（0，1）．
∵$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=m（1，0）=（m，0），$\overrightarrow{AF}$=（0，n）．
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}）$=$（\frac{m}{2}，\frac{n}{2}）$．
$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=$（\frac{1-m}{2}，\frac{1-n}{2}）$．
又m，n∈（0，1），m+2n=1．∴n∈$（0，\frac{1}{2}）$．
∴$|\overrightarrow{MN}|$=$\sqrt{（\frac{1-m}{2}）^{2}+（\frac{1-n}{2}）^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{1-n}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（n-\frac{1}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$≥$\frac{\sqrt{5}}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{1}{5}$，m=$\frac{3}{5}$時取等號．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量三角形法則與平行四邊形法則、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．