Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為A₁A、D₁C₁的中點，過D、M、N三點的平面與正方體的下底面A₁B₁C₁D₁相交與直線l．
（1）畫出直線l的位置；
（2）設l∩A₁B₁=P，求PB的長；
（3）求A到l的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平行公理

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接DM并延長交D₁A₁延長線于E，連接NE即是所求直線l；
（2）容易求得A1P=

1

4

a，所以B₁P=

3

4

a，又BB₁=a，所以在Rt△BB₁P中，可求出BP；
（3）求A到l的距離，所以想著找過a，與l垂直的線段，所以過A₁作l的垂線，垂足為F，連接AF，容易說明AF⊥l，所以根據(jù)一些邊的長度求AF長度即可．

解答： 解：（1）如圖，連接DM，并延長交DA₁延長線于E，連接NE，則NE即為所找直線l；
（2）根據(jù)已知條件知：MA₁∥DD₁，且MA1=

1

2

DD1，∴A₁為ED₁的中點；
A1P=

1

2

D1N=

1

4

a，∴B1P=

3

4

a，BB₁=a，∴PB=

9 16 a2+a2

=

5a

4

；
（3）過A₁作A₁F⊥l，垂足為F，連接AF，∵AA₁⊥平面ED₁N，EN?平面ED₁N，∴AA₁⊥EN即EN⊥AA₁，又EN⊥A₁F，AA₁∩A₁F=A₁，∴EN⊥平面AA₁F，AF?平面AA₁F，∴EN⊥AF，∴求A到l的距離，求AF的長度即可；
EP=

1

2

EN=

1

2

4a2+ 1 4 a2

=

17 a

4

，∴在Rt△EA₁P中，A₁E•A₁P=EP•A₁F，∴a•

a

4

=

17 a

4

•A1F，∴A1F=

a

17

；
∴在Rt△AA₁P中，AA₁，AP=

a2+ a2 17

=

3 34 a

17

，即A到l的距離為：

3 34 a

17

．

點評：三角形的中位線，直角三角形中邊的關系，線面垂直的性質，線面垂直的判定定理．