Question

15．$\int_2^3{（{\sqrt{（{2-x}）（{x-4}）}-{2^x}}）}dx$=$\frac{π}{4}-\frac{4}{ln2}$．

Answer 1

分析 利用定積分的定義，結合表達式的幾何意義化簡求解即可．

解答 解：$\int_2^3{（{\sqrt{（{2-x}）（{x-4}）}-{2^x}}）}dx$=${∫}_{2}^{3}\sqrt{-{x}^{2}+6x-8}dx$-${∫}_{2}^{3}{2}^{x}dx$．
=${∫}_{2}^{3}\sqrt{-（x-3）^{2}+1}dx$-${∫}_{2}^{3}{2}^{x}dx$．
${∫}_{2}^{3}\sqrt{-（x-3）^{2}+1}dx$的幾何意義是以（3，0）為圓心，以1為半徑的圓的$\frac{1}{4}$的面積，${∫}_{2}^{3}\sqrt{-（x-3）^{2}+1}dx$=$\frac{π}{4}$．
${∫}_{2}^{3}{2}^{x}dx$=$\frac{{2}^{x}}{ln2}$${|}_{2}^{3}$=$\frac{4}{ln2}$．
$\int_2^3{（{\sqrt{（{2-x}）（{x-4}）}-{2^x}}）}dx$=$\frac{π}{4}-\frac{4}{ln2}$
給答案為：$\frac{π}{4}-\frac{4}{ln2}$．

點評 本題考查定積分的求法，表達式的幾何意義，考查轉化思想以及計算能力．