Question

求函數(shù)f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：把二次函數(shù)的解析式f（x）化為頂點(diǎn)形式，找出拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中間及右邊分三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別求出最大值g（a）并求出此時(shí)a的范圍，得到g（a）與a為分段函數(shù)，然后分別在三段函數(shù)上分別利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求出各自g（a）的范圍，即可得到g（a）的最小值．

解答：解：由f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1，-2≤x≤2，
∴當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，g（a）=f（a）=a²-1；
當(dāng)a＜-2時(shí)，g（a）=f（-2）=-4a-5；
當(dāng)a＞2時(shí)，g（a）=f（2）=4a-5；
∴g（a）=

-4a-5 (a＜-2) a2-1 (-2≤a≤2) 4a-5 (a＞2)

，
∴當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，g（a）=a²-1，∴-1≤g（a）＜3；
當(dāng)a＞2時(shí)，g（a）=4a-5，∴g（a）＞3；
當(dāng)a＜-2時(shí)，g（a）=-4a-5，∴g（a）＞3；
綜上所得：g（a）≥-1，
故g（a）的最小值為-1，此時(shí)a=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．