Question

過拋物線y=-

1

4

x²的焦點作傾斜角為α的直線l交于A、B兩點，若AB=8，則傾斜角α的值為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：依題意知，x²=-4y，其焦點坐標為F（0，-1），準線方程為y=1，利用拋物線的定義可知，點A與點B的縱坐標之和y_A+y_B=-6；將直線l的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理可求得直線l的斜率，即tanα的值，從而可求α的值．

解答： 解：∵y=-

1

4

x²，
∴x²=-4y，
∴其焦點坐標為F（0，-1），準線方程為y=1；
又過焦點F的傾斜角為α直線l與拋物線x²=-4y交于A、B兩點，且AB=8，
∴|y_A-1|+|y_B-1|=8，又y_A＜0，y_B＜0，
∴1-y_A+1-y_B=8，y_A+y_B=-6．
∵直線l的方程為：y+1=xtanα=kx，由

x2=-4y y=kx-1

得：y²+（2+4k²）y+1=0，
顯然△=（2+4k²）²-4＞0，
∴y_A+y_B=-（2+4k²）=-6，解得k=±1，即tanα=±1，
∴α=

π

4

或

3π

4

．
故答案為：

π

4

或

3π

4

．

點評：本題考查拋物線的標準方程，著重考查拋物線的定義的應用，考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，考查方程思想與韋達定理的應用，屬于中檔題．