Question

已知圓O的方程為x²+y²=1和點A（a，0），設圓O與x軸交于P、Q兩點，M是圓OO上異于P、Q的任意一點，過點A（a，0）且與x軸垂直的直線為l，直線PM交直線l于點E，直線QM交直線l于點F．
（1）若a=3，直線l₁過點A（3，0），且與圓O相切，求直線l₁的方程；
（2）證明：若a=3，則以EF為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標；
（3）若以EF為直徑的圓C過定點，探求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵直線l₁過點A（3，0），且與圓C：x²+y²=1相切，
設直線l₁的方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
則圓心O（0，0）到直線l₁的距離為d=，解得k=，
∴直線l₁的方程為y=（x-3），即y=（x-3）．
（2）對于圓方程x²+y²=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l₂過點a且與x軸垂直，∴直線l₂方程為x=3，設M（s，t），則直線PM方程為y=（x+1）．
解方程組，得P′同理可得，
∴以P′Q′為直徑的圓C′的方程為（x-3）（x-3）+（y-）（y-）=0，
又s²+t²=1，∴整理得，
若圓C′經(jīng)過定點，只需令y=0，從而有x²-6x+1=0，解得x=3，
∴圓C′總經(jīng)過定點坐標為（3，0）．
（3）以EF為直徑的圓C過定點，它的逆命題：設圓O與x軸交于P、Q兩點，M是圓O上異于P、Q的任意一點，
過點M（m，0）且與x軸垂直的直線為l₂，直線PM交直線l₂于點P′，
直線QM交直線l₂于點Q′，以P′Q′為直徑的圓C總過定點，則m＞1或者m＜-1．
分析：（1）利用a=3，直線l₁過點A（3，0），且與圓O相切，通過圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的斜率，即可求直線l₁的方程；
（2）通過a=3，設出M的坐標，推出以EF為直徑的圓C的方程，利用圓總過定點，即可求出定點坐標；
（3）通過以EF為直徑的圓C過定點，寫出逆命題，然后求a的取值范圍．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，圓的方程的應用，考查分析問題解決問題的能力．