Question

f（x）=x²+ax+（b-2），x=u+

1

u

，若f（x）=0至少有一個實根，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題

分析：利用基本不等式，求出x≤-2或x≥2．由f（x）=x²+ax+（b-2）=0至少有一個實根，可得f（2）≤0或者f（-2）≤0，結(jié)合線性規(guī)劃知識，可求a²+b²的最小值．

解答： 解：∵x=u+

1

u

，
∴當(dāng)u＞0時，x=u+

1

u

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)u=

1

u

，即u=1時取等號；
當(dāng)u＜0時，x=-[（-u）+（-

1

u

）]≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)-u=-

1

u

，
即u=-1時取等號，
∴x≤-2或x≥2．
∴f（x）=x²+ax+（b-2）=0至少有一個實根，
∴f（2）≤0或者f（-2）≤0，
所以2a+b+2≤0或者-2a+b+2≤0，
畫出a，b的直角坐標(biāo)系，代表兩條直線的下方區(qū)域（注意取的是并集）
顯然這個區(qū)域里面的點到原點最近的距離有兩個，也就是原點到兩條直線的距離d=

2

5

，
∴a²+b²的最小值是

4

5

．

點評：本題主要考查基本不等式、一元二次函數(shù)、一元二次方程以及推理運(yùn)算能力，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想方法，是高考考查的重點內(nèi)容．