Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-lnx-1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)
（1）求證：函數(shù)f（x）存在極小值；
（2）若?x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），使得不等式$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{m}{x}$≤0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）={e}^{x}-\frac{1}{x}$（x＞0），從而${f}^{''}（x）={e}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，進而函數(shù)f′（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明函數(shù)f（x）存在極小值．
（2）?x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），使得不等式$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{m}{x}$≤0成立，等價于?x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），使得不等式m≥e^x-xlnx成立，令h（x）=e^x-xlnx，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），則h′（x）=e^x-lnx-1=f（x），由此利用導性質(zhì)能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 證明：（1）∵f（x）=e^x-lnx-1，∴${f}^{'}（x）={e}^{x}-\frac{1}{x}$（x＞0），
∴${f}^{''}（x）={e}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f′（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，…（2分）
∵f${\;}^{'}（\frac{1}{2}）$=$\sqrt{e}$-2＜0，f′（1）=e-1＞0，且函數(shù)f′（x）圖象在（0，+∞）上不間斷，
∴?x₀∈（$\frac{1}{2}，1$），使得f′（x₀）=0，…（3分）
結(jié)合函數(shù)f′（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，有：

x	（0，x0）	（x0，+∞）
f′（x）	-	+

∴函數(shù)f（x）存在極小值f（x₀）．
（沒體現(xiàn)單調(diào)區(qū)間扣1分）    …（5分）
解：（2）?x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），使得不等式$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{m}{x}$≤0成立，
等價于?x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），使得不等式m≥e^x-xlnx成立（*）  …（6分）
令h（x）=e^x-xlnx，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
則h′（x）=e^x-lnx-1=f（x），
∴結(jié)合（1）得：[h′（x）]_min=$f（{x}_{0}）={e}^{{x}_{0}}-ln{x}_{0}-1$，…（8分）
其中${x}_{0}∈（\frac{1}{2}，1）$，滿足f′（x₀）=0，即${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{{x}_{0}}$=0，
∴${e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$，x₀=-lnx₀，
∴[h′（x）]_min=${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}+{x}_{0}-1$＞2$\sqrt{\frac{1}{{x}_{0}}•{x}_{0}}$-1=1＞0，…（10分）
∴x∈[$\frac{1}{2}，+∞$），h′（x）＞0，
∴h（x）在[$\frac{1}{2}，+∞$）內(nèi)單調(diào)遞增，…（11分）
∴[h（x）]_min=h（$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}$=${e}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}ln2$，
結(jié)合（*）有$m＞{e}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}ln2$，
即實數(shù)m的取值范圍為[${e}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}ln2$，+∞）．  …（12分）

點評 本題考查函數(shù)存在最小值的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．