Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)=-

1

3

x

3

+b

x

2

+cx+bc，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）．
（1）如果函數(shù)f(x)在x=1處有極值-

4

3

，試確定b、c的值；
（2）設(shè)當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=f（x）-c（x+b）的圖象上任一點(diǎn)P處的切線斜率為k，若k≤1，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=-x²+2bx+c，由題意可得

f′(1)=-1+2b+c=0 f(1)=- 1 3 +b+c+bc=- 4 3

，求得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

，再驗(yàn)證即可；
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=f（x）-c（x+b）=-

1

3

x³+bx²，設(shè)圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），依題意可求得k=-x02+2bx₀≤1恒成立，x₀∈（0，1）．設(shè)g（x）=

x2+1

2x

，利用導(dǎo)數(shù)可得g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，從而可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-x²+2bx+c
∵函數(shù)f（x）在x=1處有極值-

4

3

∴

f′(1)=-1+2b+c=0 f(1)=- 1 3 +b+c+bc=- 4 3

（3分）
解得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

（4分）
（i）當(dāng)b=1，c=-1時(shí)，f′（x）=-（x-1）²≤0
所以f（x）在R上單調(diào)遞減，不存在極值
（ii）當(dāng)b=-1，c=3時(shí)，f′（x）=-（x+3）（x-1）
x∈（-3，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
所以f（x）在x=1處存在極大值，符合題意．
綜上所述，滿足條件的值為b=-1，c=3（7分）
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=f（x）-c（x+b）=-

1

3

x³+bx²，
設(shè)圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），則k=y′|x=x0=-x02+2bx₀，x₀∈（0，1），
因?yàn)閗≤1，
所以對(duì)任意x₀∈（0，1），=-x02+2bx₀≤1恒成立（9分）
所以對(duì)任意x₀∈（0，1），不等式b≤

x 2 0 +1

2x0

恒成立
設(shè)g（x）=

x2+1

2x

，則g′（x）=

(x-1)(x+1)

2x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0
故g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減
所以對(duì)任意x₀∈（0，1），g（x₀）＞g（1）=1（12分）
所以b≤1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查分類討論思想與化歸思想的運(yùn)用，屬于難題．