如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,點P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點M(t,1)是C上的定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB被直線OM平分.

(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.

(1)    (2)

解析解:(1)由題意知
(2)由(1)知M(1,1),
直線OM的方程為y=x,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為Q(m,m).
由題意知,
設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0).

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,
故k·2m=1,
所以直線AB的方程為y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
消去x,
整理得y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,
y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.
從而|AB|=·|y1-y2|=·.
設(shè)點P到直線AB的距離為d,
則d=.
設(shè)△ABP的面積為S,則
S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.
由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,則S=u(1-2u2).
設(shè)S(u)=u(1-2u2),0<u≤,則S′(u)=1-6u2.
由S′(u)=0,得u=,
因此S(u)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以S(u)max=S=.
故△ABP面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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如圖,正方形CDEF內(nèi)接于橢圓,且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行,正方形GHPQ的頂點G,H在橢圓上,頂點P,Q在正方形的邊EF上.且CD=2PQ=

(1)求橢圓的方程;
(2)已知點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0),l交橢圓于A,B兩個不同點,求證:直線MA,MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
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已知定點A(-2,0)和B(2,0),曲線E上任一點P滿足|PA|-|PB|=2.
(1)求曲線E的方程;
(2)延長PB與曲線E交于另一點Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直線l的方程為x=a(a≤),延長PB與曲線E交于另一點Q,如果存在某一位置,使得從PQ的中點R向l作垂線,垂足為C,滿足PC⊥QC,求a的取值范圍。

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我校某同學(xué)設(shè)計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”來慶祝數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)的成功舉辦.其中、是過拋物線焦點的兩條弦,且其焦點,,點軸上一點,記,其中為銳角.

(1)求拋物線方程;
(2)當(dāng)“蝴蝶形圖案”的面積最小時求的大小.

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如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點為A,離心率為,若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且·=0.

(1)求橢圓C的方程.
(2)求證:直線l過定點,并求出該定點N的坐標(biāo).

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已知橢圓E=1(a>b>0)的右焦點為F,過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A,B兩點,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若圓x2y2的切線L與橢圓E相交于P,Q兩點,當(dāng)PQ兩點橫坐標(biāo)不相等時,OP(O為坐標(biāo)原點)與OQ是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由.

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已知橢圓)的焦距為,且過點(,),右焦點為.設(shè),上的兩個動點,線段的中點的橫坐標(biāo)為,線段的中垂線交橢圓,兩點.

(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.

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已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點是,又點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線的斜率為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.

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