Question

已知函數(shù)，，其中．

(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

(2)若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0求出的值，再驗(yàn)證充分性即可，這里容易忘記驗(yàn)證充分性，一定要注意連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，只是在該處取得極值的必要條件，而非充要條件；(2)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后以導(dǎo)數(shù)為工具，求出分別求出，通過解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍，注意分類討論.本小題要注意是兩個(gè)相互獨(dú)立的變量，沒有約束關(guān)系，所能轉(zhuǎn)化為 ， 若題目改為“若對任意的都有≥成立”，則可考慮轉(zhuǎn)化為成立去解答.

試題解析：（1）解法1：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121400114709841657/SYS201312140013515622532225_DA.files/image012.png">，    1分  

∴．3分

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．

∵，∴．

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴．　     5分                                            

解法2：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121400114709841657/SYS201312140013515622532225_DA.files/image020.png">，

∴．   令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	—	0	＋
		極小值

依題意，，即，∵，∴．

（2）解：對任意的都有成立等價(jià)于對任意的都有．                               6分

當(dāng)時(shí)，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．                       8分                      

∵，且，．

①當(dāng)且當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴.由，得，又，

此時(shí)不合題意．                                          10分 

②當(dāng)時(shí)，

若，則，若，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由，得，又，∴．       12分

③當(dāng)且時(shí)，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.由≥，得，

又，∴．      13分

綜上所述，的取值范圍為．       14分

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值和最值.