Question

在△OAB中，

OA

=

a

，

OB

=

b

，若

a

•

b

=|

a

-

b

|=2：
（1）求|

a

|²+|

b

|²的值；
（2）若（

a

| a |

+

b

| b |

）（

a

-

b

）=0，

AB

=3

AM

，

BA

=2

BN

，求

OM

•

ON

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計算即可得到；
（2）通過條件（

a

| a |

+

b

| b |

）•（

a

-

b

）=0，化簡整理可得|

a

|=|

b

|，由（1）的結(jié)論即有△OAB為正三角形，再由向量垂直的條件，即可計算得到所求值．

解答： 解：（1）由于|

a

-

b

|=2，則|

a

-

b

|²=（

a

-

b

）²=

a

2+

b

2-2

a

•

b

=4，
又

a

•

b

=2，
則有|

a

|²+|

b

|²=

a

2+

b

2=8；
（2）由（

a

| a |

+

b

| b |

）•（

a

-

b

）=0，
則

a 2

| a |

+

a • b

| b |

-

a • b

| a |

-

b 2

| b |

=|

a

|-|

b

|+

2

| b |

-

2

| a |

=（|

a

|-|

b

|）（1+

2

| a |•| b |

）=0，
則有|

a

|=|

b

|，由（1）的結(jié)論得|

a

|=|

b

|=2，
又|

AB

|=|

a

-

b

|=2，所以△OAB為正三角形，
則

OM

•

ON

=（

ON

+

NM

）•

ON

，
因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，ON⊥AB，
從而

ON

•

NM

=0，|

ON

|=

3

2

×2=

3

，
則有

OM

•

ON

=（

ON

）²=3．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查正三角形的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，運(yùn)用向量垂直的條件是解題的關(guān)鍵．