已知f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)對滿足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)(x)<0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)設(shè)直線3x+y+1=0是函數(shù)y=f(x)圖象的一條切線,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
分析:(1)原問題轉(zhuǎn)化為(3-x)a+3x2-5<0在a∈[-1,1]恒成立,構(gòu)造函數(shù)f(a)=(3-x)a+3x2-5,原不等式等價(jià)于f(a)<0在a∈[-1,1]恒成立,從而只需要
f(1)>0
f(-1)>0
即可,進(jìn)而解不等式即可.
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x1,y1),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a值,再求導(dǎo)數(shù)fˊ(x)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間,fˊ(x)<0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間.
解答:解:f'(x)=3x2+3a,g(x)=3x2-ax+(3a-5),
(1)由g(x)<0得3x2-ax+(3a-5)<0,即(3-x)a+3x2-5<0在a∈[-1,1]恒成立,
(3-x)×(-1)+3x2-5<0
(3-x)×1+3x2-5<0
,即
3x2+x-8<0
3x2-x-2<0
,即
-
1+
97
6
<x<-
1-
97
6
-
2
3
<x<1
,
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(-
2
3
,1)
.----(6分)
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x1,y1),則
y1=x13+3ax1-1
3x1+y1+1=0
,得到x13+3ax1-1=-3x1-1,
得到x1=0或x12=-3a-3.
又切線的斜率k=f'(x1)=-3,即3x12+3a=-3.
①若x1=0,則a=-1
②若x12=-3a-3,則3×(-3a-3)+3a=-3,則a=-1.
綜上所述,a=-1,所以f(x)=x3-3x-1,則f'(x)=3x2-3.
若f'(x)>0,則x<-1或x>1,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞).
若f'(x)<0,則-1<x<1,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).----(12分)
點(diǎn)評:本題以不等式為載體,恒成立問題,考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)如果函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
13
,1),求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對任意x∈(0,+∞),不等式f′(x)≥2xlnx-1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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