已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=
2
,z2的虛部為2,
(1)求復(fù)數(shù)z及復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量
OZ
與x軸正方向在[0,2π)內(nèi)所成角.
(2)設(shè)z、z2、z-z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C,求△ABC的面積.
分析:(1)令z=x+yi,根據(jù)|z|=
2
,z2的虛部為2建立方程求出復(fù)數(shù)z,由其位置判斷出復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量
OZ
與x軸正方向在[0,2π)內(nèi)所成角
(2)由(1)求出z、z2、z-z2,在復(fù)平面內(nèi)找出對就的點(diǎn)的坐標(biāo),求出三角形的面積
解答:解:(1)令z=x+yi∴
x2+y2=2
2xy=2
x=1
y=1
x=-1
y=-1

∴z=1+i,或z=-1-i
當(dāng)z=1+i時,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量
OZ
與x軸正方向在[0,2π)內(nèi)所成角θ=45°,
當(dāng)z=-1-i時,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量
OZ
與x軸正方向在[0,2π)內(nèi)所成角θ=225°
故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量
OZ
與x軸正方向在[0,2π)內(nèi)所成角為45°或225°.
(2)當(dāng)z=1+i時,z2=2i,z-z2=1-i,z、z2、z-z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別為A(1,1)、B(0,2)、C(1,-1),
故|AC|=2,點(diǎn)B到直線AC的距離是1,所以S△ABC=1,
同理當(dāng)z=-1-i時,S△ABC=1,
∴S△ABC=1
點(diǎn)評:本題考查三角形中的幾何計算及復(fù)數(shù)的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義,再由題設(shè)中的條件求解,求面積,本題涉及到三角計算,得數(shù)的運(yùn)算,向量的夾角,綜合性強(qiáng),轉(zhuǎn)化靈活,解題時要嚴(yán)謹(jǐn).
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