【題目】已知點,點軸上,點軸上,且.當(dāng)點軸上運動時,點的軌跡記為曲

(Ⅰ)求曲線的軌跡方程;

(Ⅱ)過曲線上一點,作圓的切線,交曲線兩點,若直線垂直于直線,求的面積.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)設(shè)點,由表示出的坐標(biāo),根據(jù)及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,即可確定曲線的軌跡方程;

(Ⅱ)根據(jù)題意可知直線的斜率必定存在時,設(shè)表示出及直線的方程,結(jié)合與圓相切及點到直線距離公式,可得方程,再由韋達(dá)定理表示出直線的斜率公式,結(jié)合即可確定的值,進(jìn)而求得的面積.

(Ⅰ)設(shè)點,則,

所以,

因為,所以,

,

所以曲線的軌跡方程為,.

(Ⅱ)由題知直線的斜率不為0,當(dāng)直線的斜率不存在時,由拋物線的特征可知此時不垂直,故不合題意;

當(dāng)直線的斜率存在時,記,

,

所以直線的方程為,

,由直線和圓相切,

,化簡可得,

同理可得

所以是方程的兩根,

所以直線的斜率,

,由,

,

所以

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