Question

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065．
（1）將y表示成x的函數；
（2）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用AC⊥BC，求出BC²=400-x²，再利用圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，得到y(tǒng)和x之間的函數關系，最后利用垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065求出k即可求出結果．
（11）先求出導函數以及導數為0的根，進而求出其單調區(qū)間，找到函數的最小值即可．

解答：解（1）由題意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=

4

x2

+

k

400-x2

(0＜x＜20)
其中當x=10

2

時，y=0.065，
所以k=9
所以y表示成x的函數為y=

4

x2

+

9

400-x2

(0＜x＜20)
（2）y=

4

x2

+

9

400-x2

，y′=-

8

x3

-

9×(-2x)

(400-x2)2

=

18x4-8(400-x2)2

x3(400-x2)2

，
令y'=0得18x⁴=8（400-x²）²，
所以x²=160，即x=4

10

，
當0＜x＜4

10

時，18x⁴＜8（400-x²）²，即y'＜0所以函數為單調減函數，
當4

10

＜x＜20時，18x⁴＞8（400-x²）²，即y'＞0所以函數為單調增函數．
所以當x=4

10

時，即當C點到城A的距離為4

10

時，函數y=

4

x2

+

9

400-x2

(0＜x＜20)有最小值．
（注：該題可用基本不等式求最小值．）

點評：本題主要考查函數在實際生活中的應用問題．涉及到函數解析式的求法以及利用導數研究函數的最值問題，屬于中檔題目，關鍵點在于把文字轉化為數學符號．