（本題滿分12分）三棱錐中，，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，且異面直線與的夾角為時(shí)，求二面角的余弦值．

（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)分析，或者利用線面垂直平面，進(jìn)而得到面面垂直。
（2）

解析試題分析：證明：（Ⅰ）作平面于點(diǎn)，∵，

∴，即為的外心
又∵中，
故為邊的中點(diǎn)
所以平面
即證：平面平面．　�。�6分
（Ⅱ）∵中，，，∴
∵，且異面直線與的夾角為，
∴，∴為正三角形，可解得.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
， ，，
，∴． …………………….9分
設(shè)平面的法向量為
，
由，  取
平面的法向量為
∴.
由圖可知，所求二面角為鈍角，其的余弦值為．    ……….12分
考點(diǎn)：本試題主要是考查了線線垂直的證明，以及二面角的求解知識(shí)。
點(diǎn)評(píng)：解決該類立體幾何問(wèn)題，尤其是二面角的求解，通常情況下，都是建立空間直角坐標(biāo)系，借助于法向量來(lái)求解二面角的方法。而對(duì)于面面垂直的證明，一般都是利用線面垂直為前提，結(jié)合面面垂直的判定定理得到，屬于中檔題。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖：，．

（1）求的大�。�
（2）當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，棱柱ABCD—的底面為菱 形 ，AC∩BD=O側(cè)棱⊥BD,點(diǎn)F為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面底面ABCD，且，若E，F分別為PC，BD的中點(diǎn)．

（1）求證：平面PAD；
（2）求證：平面PDC平面PAD；
（3）求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐P－ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O為AC的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：BO⊥PA；
（Ⅱ）判斷在線段AC上是否存在點(diǎn)Q（與點(diǎn)O不重合），使得△PQB為直角三角形？若存在，試找出一個(gè)點(diǎn)Q，并求的值；若不存在，說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD=60，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA=2.

（1）證明：平面PBE平面PAB；
（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，E是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線BD折成直二面角A－BD－C，如圖2所示.

(1)若F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，且AB∥平面EFG，求證：CD∥平面EFG；
(2)當(dāng)圖1中AE＋EC最小時(shí)，求圖2中二面角A－EC－B的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖所示，△是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點(diǎn).

(1)求證：∥平面；
(2)求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、G分別是BC、C1D1的中點(diǎn)，如圖所示.

（1）求證：BD⊥A1C；
（2）求證：EG∥平面BB1D1D.

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