Question

4．設(shè)f（x）=lnx+ax，$g（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（2a+1）x$
（1）若a=1，證明：x∈[1，2]時(shí)，$f（x）-3＜\frac{1}{x}$成立
（2）討論函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）把證明x∈[1，2]時(shí)，$f（x）-3＜\frac{1}{x}$成立轉(zhuǎn)化為證xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，令g（x）=xlnx+x²-3x-1，采用兩次求導(dǎo)可得g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，則g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0，從而證得結(jié)論；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=\frac{1}{x}+ax-（a+1）=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x}$，然后分a≤0，0＜a＜1，a=1和a＞1四種情況討論函數(shù)的單調(diào)性．

解答 （1）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx+x，
要證x∈[1，2]時(shí)，$f（x）-3＜\frac{1}{x}$成立，由于x＞0，
∴只需證xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
令g（x）=xlnx+x²-3x-1，則g'（x）=lnx+2x-2，
∵g'（1）=0，設(shè)h（x）=lnx+2x-2，則$h'（x）=\frac{1}{x}+2＞0$，x∈[1，2]，
∴h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴g'（1）≤g'（x）≤g'（2），即0≤g'（x）≤ln2+2，
∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，則g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0．
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，xlnx+x²-3x-1＜0恒成立，即原命題得證；
（2）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}+ax-（a+1）=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x}$，
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0解得0＜x＜1或$x＞\frac{1}{a}$；由f′（x）＜0，解得$1＜x＜\frac{1}{a}$．
∴函數(shù)f（x）在（0，1），$（\frac{1}{a}\;\;，\;\;+∞）$上單調(diào)遞增，在$（1\;\;，\;\;\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≥0對(duì)x＞0恒成立，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞0，解得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{a}$；由f′（x）＜0，解得$\frac{1}{a}＜x＜1$．
∴函數(shù)f（x）在$（0\;\;，\;\;\frac{1}{a}）$，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{a}\;\;，\;\;1）$上單調(diào)遞減；
（4）當(dāng)a=0時(shí)，$f'（x）=\frac{1-x}{x}$，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（5）當(dāng)a＜0時(shí)，$f'（x）=\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
綜上，a≤0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
0＜a＜1，f（x）在（0，1），（$\frac{1}{a}，+∞$）上單調(diào)遞增，在（1，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減；
a=1，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
a＞1，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了恒成立問(wèn)題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．