Question

9．橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為$4\sqrt{5}$，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，△PF₁F₂的周長為$4\sqrt{5}+12$，則橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 由題意可知c=2$\sqrt{5}$，由△PF₁F₂的周長l=2a+2c=$4\sqrt{5}+12$，即可求得a和c的值，b²=a²-c²，即可求得橢圓方程．

解答 解：由2c=4$\sqrt{5}$，則c=2$\sqrt{5}$，
由△PF₁F₂的周長l=2a+2c=$4\sqrt{5}+12$，則2a=12，
即a=6，b²=a²-c²=36-20=16，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)三角形的周長公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．