Question

14．已知關(guān)于x、y的二元一次不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤4}\\{x-y≤1}\\{x+2≥0}\\{\;}\end{array}\right.$
（1）求函數(shù)u=3x-y的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)d=（x-2）²+（y+2）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得函數(shù)u=3x-y的最大值和最小值；
（2）由d=（x-2）²+（y+2）²的幾何意義，即動點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（2，-2）之間的距離的平方，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的平方求解．

解答 解：（1）作出二元一次不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤4}\\{x-y≤1}\\{x+2≥0}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，如圖所示．
由u=3x-y，得y=3x-u，得到斜率為3，在y軸上的截距為-u，隨u變化的一組平行線，
由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的C點(diǎn)時(shí)，截距-u最大，即u最小，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x+2=0}\end{array}\right.$，得C（-2，3），
∴u_min=3×（-2）-3=-9．
當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的B點(diǎn)時(shí)，截距-u最小，即u最大，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，得B（2，1），
∴u_max=3×2-1=5．
∴u=3x-y的最大值是5，最小值是-9；
（2）d表示動點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（2，-2）之間的距離的平方，最小值為點(diǎn)（2，-2）到邊界x-y=1的距離的平方．
故${d_{min}}={（\frac{2-（-2）-1}{{\sqrt{2}}}）^2}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．