Question

設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)
（1）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f（-2）的取值范圍；
（2）如果1＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求證：b＜

1

4

；
（3）如果a≥2，x₂-x₁=2，且x∈（x₁，x₂），函數(shù)g（x）=-f（x）+2（x₂-x）的最大值為h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由x₁＜2＜x₂＜4即得

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

，由這兩個(gè)不等式容易得到4a-2b＞0，而f（-2）=4a-2b+3，所以便得到f（-2）＞3；
（2）由

x1+x2= 1-b a x1x2= 1 a

便可求得b=-

1

x1

-

1

x2

+1，x₂=x₁+2，所以b=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，設(shè)φ（x）=-

1

x

-

1

x+2

+1，通過求導(dǎo)容易判斷φ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以b＜φ（2）=

1

4

；
（3）x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，所以可設(shè)f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），這樣便得到g（x）=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)，而根據(jù)基本不等式即可得到g（x）≤a+

1

a

+2，所以h（a）=a+

1

a

+2，求導(dǎo)能夠判斷出h（a）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（a）的最小值便是h（2）．

解答： 解：（1）由已知條件知：

f(2)=4a+2b-1＜0 ① f(4)=16a+4b-3＞0 ②

；
∴①×（-3）+②得，4a-2b＞0；
∴f（-2）=4a-2b+3＞3；
∴f（-2）的取值范圍為（3，+∞）；
（2）證明：∵

x1+x2= 1-b a   x1x2= 1 a

；
∴兩式相除得，1-b=

1

x1

+

1

x2

；
∴b=-

1

x1

-

1

x2

+1；
x₂=x₁+2帶入上式得，b=-

1

x1

-

1

x1+2

+1；
令φ（x）=-

1

x

-

1

x+2

+1（x＞0），φ′（x）=

1

x2

+

1

(x+2)2

＞0；
∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∵1＜x₁＜2；
∴b=φ（x₁）＜φ（2）=

1

4

；
∴b＜

1

4

；
（3）設(shè)f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），g（x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=-a(x-x2)(x-x1+

2

a

)=a（x₂-x）（x-x1+

2

a

）；
∵x∈（x₁，x₂），a≥2；
∴x2-x＞0，x-x1+

2

a

＞0；
∴g(x)≤a•(

x2-x1+ 2 a

2

)2=a+

1

a

+2，當(dāng)x=

x1+x2

2

-

1

a

=

-b-1

2a

時(shí)取“=”；
∴h（a）=a+

1

a

+2，a≥2；
a≥2時(shí)，h′(a)=1-

1

a2

＞0；
∴h（a）在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴h（2）=

9

2

是h（a）的最小值．

點(diǎn)評：考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷函數(shù)的符號，韋達(dá)定理，以及根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，基本不等式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．