Question

在公差不為零的等差數列{a_n}與等比數列{b_n}中,設a₁=1,a₁=b₁,a₂=b₂,a₈=b₃.

(1)求公差和公比.

(2)是否存在常數a、b∈R,使得對一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在,求之；若不存在,請說明理由.

Answer 1

思路分析：根據題設可知本題的等差數列、等比數列中的各項分別能用a₁和d,a₁和q表示,因此可建立d和q的方程組,然后再解出d和q.

解:(1)設等差數列{a_n}的公差為d,等比數列{b_n}的公比為q.

由a₂=b₂知1+d=q.             ①

由a₈=b₃知1+7d=q².           ②

從而有q=6,d=5.

(2)∵a₁=1,b₁=a₁=1,d=5,q=6,

∴a_n=a₁+(n-1)d=1+(n-1)5=5n-4,b_n=b₁q^n-1=6^n-1.

假設存在常數a、b使得對n∈N^*時都有a_n=log_ab_n+b.

∴5n-4=log_a6^n-1+b.

∴(5-log_a6)n+(log_a6-b-4)=0,

即

解之得a=,b=1,則存在常數a=,b=1,使得對一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立.