（1）a，b，c∈R，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
（2）求證：
a
-
a+3
＜
a+2
-
a+5
（a≥0）
分析：（1）由基本不等式，得a2+b2≥2ab、b2+c2≥2bc且c2+a2≥2ca，將此三式相加后化簡(jiǎn)可得原不等式恒成立；
（2）由a≥0得0＜
a
+
a+3
＜
a+2
+
a+5
，根據(jù)不等式的倒數(shù)法則，對(duì)不等式兩邊取倒數(shù)，再化簡(jiǎn)整理即可得到原不等式恒成立．
解答：解：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca
∴三式相加，得2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ca
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立
不等式兩邊都除以2，得a2+b2+c2≥ab+bc+ca
即原不等式恒成立；
（2）∵a≥0，
∴0＜
a
+
a+3
＜
a+2
+
a+5

取倒數(shù)，得
1
a
+
a+3
＞
1
a+2
+
a+5
＞0
化簡(jiǎn)得
a
-
a+3
(
a
+
a+3
)(
a
-
a+3
)
＞
a+2
-
a+5
(
a+2
+
a+5
)(
a+2
-
a+5
)

即-
a
-
a+3
3
＞-
a+2
-
a+5
3
，
兩邊都乘以-3，可得
a
-
a+3
＜
a+2
-
a+5
．
點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)兩個(gè)不等式恒成立的證明，考查了基本不等式、不等式的基本性質(zhì)和倒數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在R上，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意m，n，有f（m+n）=f（m）•f（n），當(dāng)m≠n時(shí)，f（m）≠f（n）；
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）設(shè)A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（ax+by+c）=1，a，b，c∈R，a≠0}，若A∩B=∅，求a，b，c滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）a，b，c∈R，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca（綜合法證明）
（2）求證：
2
-
3
＜
6
-
7
（分析法證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
5
b-c
5a
=1，(a，b，c∈R)，則下列不等關(guān)系最準(zhǔn)確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-5：不等式選講
已知a2+b2+c2=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案