Question

已知函數(shù)f(x)=alnx+

2

x+1

(a∈R)．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）求h′（x），可得h′(x)=

a

x

-

2

(x+1)2

=

ax2+2(a-1)x+a

x(x+1)2

，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解．通過(guò)對(duì)a分
a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；
（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx+

2

x+1

＞1⇒lnx＞

x-1

x+1

，再構(gòu)造函數(shù)，令x=

k+1

k

，有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，從而ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

，問(wèn)題可解決；
（法二）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒ln2＞

1

3

，成立；設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ln(k+1)＞

1

3

+

1

5

+…+

1

2k+1

，再去證明n=k+1時(shí)，ln(k+2)＞

1

3

+

1

5

+…+

1

2k+1

+

1

2k+3

即可（需用好歸納假設(shè)）．

解答：解：（I）f(x)=lnx+

2

x+1

，定義域?yàn)椋?，+∞）．
∵f′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=1； （3分）
（Ⅱ）∵h′(x)=

a

x

-

2

(x+1)2

=

ax2+2(a-1)x+a

x(x+1)2

，
∵若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴h′（x）＜0有正數(shù)解．即ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解． （5分）
①當(dāng)a=0時(shí)，明顯成立．
②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax²+2（a-1）x+a為開(kāi)口向下的拋物線，ax²+2（a-1）x+a＜0總有x＞0的解；
③當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax²+2（a-1）x+a開(kāi)口向上的拋物線，
即方程ax²+2（a-1）x+a=0有正根．
因?yàn)閤₁x₂=1＞0，
所以方程ax²+2（a-1）x+a=0有兩正根．

△＞0 x1+x2＞0

，解得0＜a＜

1

2

．
綜合①②③知：a＜

1

2

．  （9分）
（Ⅲ）
（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx+

2

x+1

＞1，即lnx＞

x-1

x+1

．
令x=

k+1

k

，則有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，
∴

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

．
∵ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

，
∴ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+…+

1

2n+1

．   （12分）
（法二）當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴ln2＞

1

3

，即n=1時(shí)命題成立．
設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即 ln(k+1)＞

1

3

+

1

5

+…+

1

2k+1

．
∴n=k+1時(shí)，ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln

k+2

k+1

＞

1

3

+

1

5

+…+

1

2k+1

+ln

k+2

k+1

．
根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx+

2

x+1

＞1，即lnx＞

x-1

x+1

．
令x=

k+2

k+1

，則有ln

k+2

k+1

＞

1

2k+3

，
則有ln(k+2)＞

1

3

+

1

5

+…+

1

2k+1

+

1

2k+3

，即n=k+1時(shí)命題也成立．
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．    （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)學(xué)歸納法，難點(diǎn)之一在于（Ⅱ）中通過(guò)求h′（x）后，轉(zhuǎn)化為：ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解的問(wèn)題，再用分類討論思想來(lái)解決；難點(diǎn)之二在于（Ⅲ）中法一通過(guò)構(gòu)造函數(shù)x=

k+1

k

，用放縮法證得結(jié)論，法二通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，其中也有構(gòu)造函數(shù)的思想，屬于難題．