已知橢圓9x2＋2y2＝18上任意一點P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在線段PQ上，且，點M的軌跡為曲線E．

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)若過定點F(0，2)的直線l交曲線E于不同的兩點G，H(點G在點F，H之間)，且滿足，求直線l的方程．

答案：
解析：

　　解：(I)設點P(x0，y0)，是橢圓上一點，則Q(x0，0)，M(x，y)

　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入橢圓方程得

　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2為曲線E的方程．　　　　　　　　　　4分

　　(II)設G(x1，y1)，H(x2，y2)

　　當直線GH斜率存在時，設直線GH的斜率為k

　　則直線GH的方程為：y＝kx＋2，　　　　　　　　　　　　　　5分

　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0

　　由△＞0，解得：k2＞　　　　　　　　　　　　　　　　6分

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

　　∴將(1)代入(2)整理得：　　　　　　9分

　　解得：　　　　　　　　　　11分

　　∴直線l的方程為：y＝x＋2　　　　　　　　　　12分

　　當直線GH斜率不存在時，直線的l方程為x＝0，此時

　　矛盾不合題意．

　　∴所求直線l的方程為：y＝x＋2　　　　　　　　　　14分


練習冊系列答案
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（2007•青島一模）已知橢圓9x2+2y2=18上任意一點P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在線段PQ上，且
PM
=2
MQ
，點M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若過定點F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點G，H（點G在點F，H之間），且滿足
FG
=
1
2
FH
，求直線l的方程．

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