Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，且f（-2）=0，則不等式

f(x)

x

＞0的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=

f(x)

x

，由商的導(dǎo)數(shù)法則，即可得到x＞0，g（x）遞增，由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，x＜0時(shí)，g（x）是減函數(shù)，由于f（-2）=0，即g（-2）=0，g（2）=0，不等式

f(x)

x

＞0即為g（x）＞0，即有x＞0，且g（x）＞g（2）；或x＜0，且g（x）＞g（-2），運(yùn)用單調(diào)性即可得到解集．

解答： 解：令g（x）=

f(x)

x

，[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

，
即由當(dāng)x＞0時(shí)，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，g（x）=

f(x)

x

是增函數(shù)，
由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則g（-x）=

f(-x)

-x

=g（x），則g（x）為偶函數(shù)，x＜0時(shí)，g（x）是減函數(shù)，
由于f（-2）=0，即g（-2）=0，g（2）=0，
則不等式

f(x)

x

＞0即為g（x）＞0，即有x＞0，且g（x）＞g（2）；或x＜0，且g（x）＞g（-2），
解得x＞2或x＜-2．
故答案為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，�？衫�用導(dǎo)函數(shù)來判斷．