Question

2．若數(shù)列{a_n}的所有項都是正數(shù)，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+3n（n∈N^*），則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n+1}$）=2．

Answer 1

分析 利用數(shù)列遞推關(guān)系可得a_n，再利用等差數(shù)列的求和公式、極限的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+3n（n∈N^*），∴n=1時，$\sqrt{{a}_{1}}$=4，解得a₁=16．
n≥2時，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+3（n-1），可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=2n+2，∴a_n=4（n+1）²．
$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=4（n+1）．
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n+1}$）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{4×\frac{n（2+n+1）}{2}}{{n}^{2}}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的求和公式、極限運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．