Question

19．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ+1，若b_n=a_n²+n，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n為T(mén)_n=$\left\{\begin{array}{l}{10．}&{n=1}\\{\frac{8}{3}+\frac{{4}^{n}}{3}+\frac{{n}^{2}+n-2}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和法進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+1-2^n-1-1=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a_n=S₁=2+1=3，不滿(mǎn)足a_n=2^n-1，
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3}&{n=1′}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∵b_n=a_n²+n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁²+1=9+1=10，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n²+n=（2^n-1）²+n=4^n-1+n，
當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T₁=b₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=b₁+（b₂+b₃+…+b_n）=10+$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$+$\frac{（2+n）（n-1）}{2}$=10-$\frac{4}{3}$+$\frac{{4}^{n}}{3}$+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$=$\frac{8}{3}$+$\frac{{4}^{n}}{3}$+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$，
則T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10．}&{n=1}\\{\frac{8}{3}+\frac{{4}^{n}}{3}+\frac{{n}^{2}+n-2}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10．}&{n=1}\\{\frac{8}{3}+\frac{{4}^{n}}{3}+\frac{{n}^{2}+n-2}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列和的計(jì)算，根據(jù)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和法以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵．