（本小題滿分15分） 已知動圓過定點，且與直線相切，橢圓 的對稱軸為坐標軸，一個焦點是，點在橢圓上．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；

（Ⅱ）若動直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點，問：是否存在著這樣的直線使得的面積等于？如果存在，請求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

 

【答案】

（Ⅰ）軌跡的方程，橢圓的方程為．（Ⅱ）的面積等于的直線不存在．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)過圓心作直線直線的垂線，垂足為，由題意得，即動點到定點的距離與到定直線的距離相等．由拋物線的定義知，點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為． ------3分

設(shè)橢圓方程為，將點代入方程得，

整理得，解得或（舍去）．

故所求橢圓的方程為．------------------------6分

（Ⅱ）軌跡的方程為即，則，---------------7分

所以軌跡在處的切線的斜率為，故直線的斜率為， 假設(shè)符合題意的直線方程為． --------8分

代入橢圓方程化簡得，設(shè)，，，，，-----------------9分

故，------------------------10分

又點到直線的距離是， --------------------11分

故-------------------13分

當且僅當，即取得等號（滿足）．--------------14分

此時的面積等于，

所以的面積等于的直線不存在．--------------15分

考點：橢圓的簡單性質(zhì)；圓的簡單性質(zhì)；軌跡方程的求法；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。

點評：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線的定義條件。

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建省高三上學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，試分別解答以下兩小題.

（ⅰ）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）若是兩個不相等的正數(shù)，且，求證：．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省高三下學期3月聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題

(本小題滿分15分)．

已知、分別為橢圓：的

上、下焦點，其中也是拋物線：的焦點，

點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓：，過點P的動直線與圓相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：，（且）。求證：點Q總在某定直線上。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省高三上學期第三次月考數(shù)學文卷 題型：解答題

(本小題滿分15分)

如圖已知，橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓相交于A、B兩點。

（Ⅰ）若，且，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若求的最大值和最小值。

 

 

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆浙江省寧波市高一上學期期末考試數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分15分）若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出；若不是，說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年江蘇省高二下學期期中考試理數(shù) 題型：解答題

（本小題滿分15分）在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題．求：

（1）第1次抽到理科題的概率；

（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；

（3）在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到文科題的概率

 

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案