Question

8．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=3，又$cos∠BAC=-\frac{3}{5}$，則該三棱錐外接球的表面積為49π．

Answer 1

分析 由余弦定理求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐P-ABC的外接球的表面積．

解答 解：∵AB=AC=3，$cos∠BAC=-\frac{3}{5}$，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{9+9-2×3×3×（-\frac{3}{5}）}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴△ABC外接圓的半徑為r=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，則由勾股定理可得R²=1²+（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{49}{4}$，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR²=49π．
故答案為：49π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐P-ABC的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐P-ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵．