(2012•茂名一模)已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù))求實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=λf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)求a的值;
(2)若g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]及λ所在的取值范圍上恒成立,求t的取值范圍;
(3)討論關(guān)于x的方程
lnxf(x)
=x2-2ex+m
的根的個(gè)數(shù).
分析:(1)因?yàn)槎x域是實(shí)數(shù)集R,直接利用奇函數(shù)定義域內(nèi)有0,則f(-0)=-f(0)即f(0)=0,即可求a的值;
(2)先利用函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立,求出λ的取值范圍以及得到g(x)的最大值g(-1)=-1-sin1;然后把g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立轉(zhuǎn)化為-λ-sin1≤t2+λt+1(λ≤-1),整理得(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤-1)恒成立,再利用一次函數(shù)的思想方法求解即可.
(3)先把方程轉(zhuǎn)化為
lnx
x
=x2-2ex+m,令F(x)=
lnx
x
(x>0),G(x)=x2-2ex+m  (x>0),再利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到兩個(gè)函數(shù)的最值,比較其最值即可得出結(jié)論.
解答:解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),
所以f(-0)=-f(0)即f(0)=0,
則ln(e0+a)=0解得a=0,
a=0時(shí),f(x)=x是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù);
(2)由(1)得f(x)=x所以g(x)=λx+sinx,g'(x)=λ+cosx,
因?yàn)間(x) 在[-1,1]上單調(diào)遞減,∴g'(x)=λ+cosx≤0  在[-1,1]上恒成立,
∴λ≤-1,g(x)max=g(-1)=-1-sin1,
只需-λ-sin1≤t2+λt+1(λ≤-1),
∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤-1)恒成立,
令h(λ)=(t+1)+t2+sin1+1(λ≤-1)
t+1≤0
h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0
,解得t≤-1
(3)由(1)得f(x)=x
∴方程轉(zhuǎn)化為
lnx
x
=x2-2ex+m,令F(x)=
lnx
x
(x>0),G(x)=x2-2ex+m  (x>0),(8分)
∵F'(x)=
lnx
x
,令F'(x)=0,即
lnx
x
=0,得x=e
當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(xiàn)'(x)>0,∴F(x)在(0,e)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),F(xiàn)'(x)<0,F(xiàn)(x)在(e,+∞)上為減函數(shù);(9分)
當(dāng)x=e時(shí),F(xiàn)(x)max=F(e)=
1
e
(10分)
而G(x)=(x-e)2+m-e2   (x>0)
∴G(x)在(0,e)上為減函數(shù),在(e,+∞)上為增函數(shù);(11分)
當(dāng)x=e時(shí),G(x)min=m-e2(12分)
∴當(dāng)m-e2>
1
e
,即m>e2+
1
e
時(shí),方程無(wú)解;
當(dāng)m-e2=
1
e
,即m=e2+
1
e
時(shí),方程有一個(gè)根;
當(dāng)m-e2<
1
e
,即m<e2+
1
e
時(shí),方程有兩個(gè)根;(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,是對(duì)知識(shí)的綜合考查,屬于難題.在涉及到奇函數(shù)定義域內(nèi)有0時(shí),一般利用結(jié)論f(0)=0來(lái)作題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•茂名一模)若f(x)=
f(x-4),x>0
π
4
x
costdt,x≤0
,則f(2012)
=
2
2
2
2

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(2012•茂名一模)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,給出下列命題:
①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn);
②-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn);
③y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零;
④y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增.
則正確命題的序號(hào)是
①④
①④

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(2012•茂名一模)如圖1,在正三角形ABC中,AB=3,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),AE=CF=CP=1.將△AFE沿折起到△A1EF的位置,使平面A1EF與平面BCFE垂直,連接A1B、A1P(如圖2).
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(2)求證:平面BCFE⊥平面A1EB;
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(2012•茂名一模)如圖,設(shè)P是圓x2+y2=2上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影.M為線段PD上一點(diǎn),且|MD|=
2
2
|PD|

(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)已知點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),設(shè)點(diǎn)A(1,m)(m>0)是軌跡C上的一點(diǎn),求∠F1AF2的平分線l所在直線的方程.

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