Question

（2013•江西）正項數(shù)列{a_n}滿足

a

2 n

-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=

1

(n+1)an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）通過分解因式，利用正項數(shù)列{a_n}，直接求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）利用數(shù)列的通項公式化簡b_n=

1

(n+1)an

，利用裂項法直接求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由正項數(shù)列{a_n}滿足：

a

2 n

-（2n-1）a_n-2n=0，
可得（a_n-2n）（a_n+1）=0
所以a_n=2n．
（2）因為a_n=2n，b_n=

1

(n+1)an

，
所以b_n=

1

(n+1)an

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
T_n=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

2

(1-

1

n+1

)
=

n

2n+2

．
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n為

n

2n+2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，裂項法求解數(shù)列的和的基本方法，考查計算能力．