Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象為曲線C₁，函數(shù)g（x）=ax（a≠0）的圖象為曲線C₂．
（1）若曲線C₁與C₂沒有公共點，求滿足條件的實數(shù)a組成的集合A；
（2）當a∈A時，平移曲線C₂得到曲線C₃，使得曲線C₃與曲線C₁相交于不同的兩點，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），試用x₁，x₂表示a；
（3）在（2）的條件下試比較a與f/(

x1+x2

2

)的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）曲線C₁與C₂沒有公共點，即：e^x-ax=0無解．設F（x）=e^x-ax，則F′（x）=e^x-a，要使曲線C₁與C₂沒有公共點，所以a＞0，由F′（x）=0，知x=lna，由此能求出集合A．
（2）由題設知曲線C₃的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

，由此能得到a=

ex2-ex1

x2-x1

．
（3）設x₁＜x₂，f/(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

，a-f/(

x1+x2

2

)=

ex2-ex1

x2-x1

-e

x1+x2

2

=ex1(

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

)，由ex1＞0，只需求

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

的正負．由此能證明a＞f/(

x1+x2

2

)．

解答：解：（1）曲線C₁與C₂沒有公共點，
即：e^x-ax=0無解．
設F（x）=e^x-ax，
∴F′（x）=e^x-a，
顯然要使曲線C₁與C₂沒有公共點，
所以a＞0，
由F′（x）=0，
∴x=lna，且F（x）=e^x-ax的減區(qū)間是：（-∞，lna），增區(qū)間是：（lna，+∞），
當x=lna時，F(xiàn)（x）_min=F（lna）=a-alna，
由a-alna＞0，
∴0＜a＜e．
綜上：A=（0，e）…（4分）
（2）∵A=（0，e），a∈A，
∴a∈（0，e），
∵曲線C₁：f（x）=e^x，曲線C₂：g（x）=ax（a≠0），
平移曲線C₂得到曲線C₃，使得曲線C₃與曲線C₁相交于不同的兩點，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴曲線C₃的斜率k=a=

y2-y1

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

，
∴a=

ex2-ex1

x2-x1

．…（6分）                           
（3）設x₁＜x₂，f/(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

，a-f/(

x1+x2

2

)=

ex2-ex1

x2-x1

-e

x1+x2

2

=ex1(

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

)
∵ex1＞0，
以下只需求

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

的正負．
令t=x₂-x₁（t＞0）
∵

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

=

et-1

t

-e

t

2

=

1

t

(et-te

t

2

-1)，
∵

1

t

＞0，以下只需求et-te

t

2

-1的正負
設

t

2

=k(k＞0)，
∴et-te

t

2

-1=（e^k）²-2ke^k-1，
令φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1（k＞0），
φ′（k）=2（e^k）²-2e^k-2ke^k=2e^k（e^k-k-1）（k＞0），
設ω（k）=e^k-k-1（k＞0），
∴ω′（k）=e^k-1（k＞0），
∴ω′（k）＞0，
∴ω（k）單調增，
∴ω（k）=e^k-k-1＞ω（0）=0，
∴φ′（k）＞0，
∴φ（k）單調增，
即：φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1＞φ（0）=0
∴a-f/(

x1+x2

2

)＞0，
∴a＞f/(

x1+x2

2

)…（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯是計算量大，容易失誤，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．