Question

已知tan²α=2tan²β+1,求證:sin²β=2sin²α-1.

Answer 1

思路分析：條件是用正切表達(dá)的α與β的關(guān)系，欲證目標(biāo)是正弦表達(dá)的α與β的關(guān)系，可用條件tan²β=12(tan²α-1)把tan²βsin²β證出目標(biāo)，也可找出α與β的關(guān)系證出目標(biāo).

    證法一：因?yàn)閠an²α=2tan²β+1,所以tan²β=.

    又sin²β=tan²β·cos²β====

==sin²α-cos²α=2sin²α-1,所以sin²β=2sin²α-1.

    證法二：2sin²α-1=-1=-1=

==sin²β，所以原等式成立.

    證法三：因?yàn)閠an²α=2tan²β+1,

    所以=+1=.

    所以.

    所sin²α(1-sin²β)=(1-sin²α)(1+sin²β).

    所以sin²β=2sin²α-1.

    證法四：因?yàn)閠an²α=2tan²β+1,

    所以1+tan²α=2(tan²β+1).

    所以sec²α=2sec²β.

    所以2cos²α=cos²β.

    所以2(1-sin²α)=1-sin²β.

    所以sin²β=2sin²α-1.