Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（

π

12

）的值和函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及最大值，并指出取得最大值時x的取值集合．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求出最小正周期，
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）的最大值，單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）；
則函數(shù)的周期T=

2π

2

=π；函數(shù)的最小正周期為π，
f（

π

12

）=2sin（2×

π

12

+

π

6

）=2sin

π

3

=2×

3

2

=

3

；
（Ⅱ）當(dāng)sin（2x+

π

6

）=1，即2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

π

6

+kπ，此時函數(shù)取得最大值y_max=2；
函數(shù)的最大值為2；最大值時x的取值集合為{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}．
③由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，此類題目的解答，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度．