Question

. (本小題滿(mǎn)分14分)

第21題

設(shè)雙曲線(xiàn)=1( a > 0, b > 0 )的右頂點(diǎn)為A，P是雙曲線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從A引雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)與直線(xiàn)OP分別交于Q和R兩點(diǎn).

(1) 證明：無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有||² = |·| ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))；

(2) 若以O(shè)P為邊長(zhǎng)的正方形面積等于雙曲線(xiàn)實(shí)、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍；

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)  e >    

解析:

：(1) 設(shè)OP：y = k x,    又條件可設(shè)AR: y = (x – a ),

   解得：= (,),    同理可得= (,),     

∴|·| =|+| =.           4分

   設(shè) = ( m, n ) , 則由雙曲線(xiàn)方程與OP方程聯(lián)立解得:

m² =, n² = ,    

∴ ||² = :m² + n² = + = ,

∵點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，∴b² – a²k² > 0 .

  ∴無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有||² = |·| .                    4分

（2）由條件得：= 4ab,      2分

即k² = > 0 , ∴ 4b > a, 得e >    2分