Question

（理）函數(shù)y=2

3x+2

+

5-6x

的值域?yàn)?!--BA-->

[3，3

3

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)(

6x+4

3

)2+(

5-6x

3

)2=1，可用三角換元法，將函數(shù)的解析式化為y=3

2

sinα+3cosα=3

3

sin（α+φ），其中tanφ=

2

2

，α∈[0，

π

2

]的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答：解：∵(

6x+4

3

)2+(

5-6x

3

)2=1，

6x+4

3

 ≥0，

5-6x

3

 ≥0
故可設(shè)sinα=

6x+4

3

 ，cosα=

5-6x

3

 ，α∈[0，

π

2

]
則y=2

3x+2

+

5-6x

=3

2

sinα+3cosα=3

3

sin（α+φ），其中tanφ=

2

2

當(dāng)α=0時(shí)，y取最小值3，當(dāng)α+φ=

π

2

時(shí)，y取最大值3

3

故y∈[3，3

3

]．
即函數(shù)y=2

3x+2

+

5-6x

的值域?yàn)?span id="eg0gkke" class="MathJye">[3，3

3

]
故答案為：[3，3

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，其中利用三角換元法將其轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的值域是解答的關(guān)鍵．