Question

已知焦點在x軸上的橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1，(b＞0)F₁，F(xiàn)₂是它的兩個焦點，若橢圓上存在點P，使

PF1

•

PF2

=0，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先證：若B為橢圓短軸端點，則∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．記∠F₁PF₂=θ，
|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，cosθ=

4a2 -4c2

2r1r2

-1推出cosθ≥

a2+a2-4c2

2a2

=cos∠F₁BF₂，即∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．
利用結(jié)論，題中橢圓上存在點P，使得∠F₁PF₂=90⁰，當且僅當∠F₁BF₂≥90⁰，推出b∈（0，

2

]．

解答：解：先證一個結(jié)論：若B為橢圓短軸端點，則∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．記∠F₁PF₂=θ，
|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，cosθ=

r12+r22-4c2

2r1r2

=

(r1 +r2)2-2r1r2-4c2

2r1r2

=

4a2 -4c2

2r1r2

-1
又r₁r₂≤（

r1+r2

2

）²=a²，∴cosθ≥

a2+a2-4c2

2a2

=cos∠F₁BF₂，當且僅當r₁=r₂時等號成立，
即∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．題中橢圓上存在點P，使得∠F₁PF₂=90⁰，當且僅當∠F₁BF₂≥90⁰，即
cos∠F₁BO≤

2

2

等價于b≤

2

2

a=

2

，∴b∈（0，

2

]．
故答案為：（0，

2

]．

點評：本題考查橢圓的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力邏輯思維能力，是難題，考查轉(zhuǎn)化思想．