Question

已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)．（1）當

a

⊥

b

時，求|

a

+

b

|的值；（2）求函數(shù)f(x)=

a

•(

a

-

b

)的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)．由

a

⊥

b

時，

a

•

b

=0，我們可求出sinx•cosx=

1

2

．進而得到|

a

+

b

|的值；
（2）由已知中

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)代入平面向量數(shù)量積的運算公式，結(jié)合降冪公式和輔助角公式，我們可以將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f(x)=

a

•(

a

-

b

)的值域．

解答：解：（1）a•b=sinx•cosx+1×(-

1

2

)=sinxcosx-

1

2

，∵a⊥b，∴a•b=0
即sinx•cosx-

1

2

=0，故sinx•cosx=

1

2

．|a+b|=

(sinx+cosx)2+(1- 1 2 )2

=

1+2sinxcosx+ 1 4

=

3

2

．
（2）f（x）=a•（a-b）=a2-a•b=sin2x+12-sinx•cosx+

1

2

=

3

2

+sin2x-sinx•cosx=

3

2

+

1-cos2x

2

-

sin2x

2

=2-

1

2

(sin2x+cos2x)=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)．∵-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴2-

2

2

≤2-

2

2

sin(2x+

π

4

)≤2+

2

2

．故函數(shù)f（x）=a•（a-b）的值域為[2-

2

2

，2+

2

2

]．

點評：本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的運算，函數(shù)的值域，向量的模，其中熟練掌握平面向量的數(shù)量積公式，是處理本題的關(guān)鍵．