如圖，在橢圓C中，點F1是左焦點，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點和上頂點，點O為橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的射影．
（1）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（2）如果點H落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以OP為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于數(shù)學公式，求橢圓的方程．

解：（1）由，OP∥AB，得，
代入橢圓方程，得，
∴或，
∵PH⊥x軸，∴或，
∵a為定值，∴H為定點；（4分）
（2）∵點H落在左頂點與左焦點之間，
∴只有，且，
可解得；（4分）
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于．
由條件設直線，
則點O到直線AB的距離，又，
∴得①
又由，
得ab=4．②由①②解得，，
所以所求橢圓方程為：．（6分）
分析：（1）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，由此能夠證明當a取定值時，點H必為定點．
（2）由點H落在左頂點與左焦點之間，知只有，且，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于．由條件設直線，點O到直線AB的距離，又，所以，再由，
能夠得到所求橢圓方程．
點評：本題考查定點的證明、離心率取值范圍的確定和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在橢圓C中，點F1是左焦點，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點和上頂點，點O為橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的射影．
（1）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（2）如果點H落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以OP為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于3+
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左右兩個焦點，P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點，△PF1F2的重心為G，內(nèi)心為I．
（1）求證：IG∥F1F2；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F2與橢圓C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=-
1
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2008年湖北省武漢市高三四月調(diào)考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在橢圓C：中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左右兩個焦點，P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點，△PF1F2的重心為G，內(nèi)心為I．
（1）求證：IG∥F1F2；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F2與橢圓C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率k1，k2滿足，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2008年浙江省杭州市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在橢圓C中，點F1是左焦點，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點和上頂點，點O為橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的射影．
（1）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（2）如果點H落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以OP為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的方程．

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