【題目】設橢圓()的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關系，計算A的坐標，計算切線與橢圓交點坐標，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設出M,N的坐標，設出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可。

(Ⅰ)設橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，

∴橢圓的方程可設為.

易求得，∴點在橢圓上，∴，

解得，∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，由(Ⅰ)知，，

，∴.

當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，

∴，即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得，

∴，得.

∵，

∴，

，

∴.

綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，都有.

在中，由與相似得，為定值.

練習冊系列答案
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