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8.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,且AD=2BC,過A1、C、D三點(diǎn)的平面記為α,BB1與α的交點(diǎn)為Q.
(Ⅰ)證明:Q為BB1的中點(diǎn);
(Ⅱ)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面積為6,∠ADC=60°,求平面α與底面ABCD所成銳二面角的大�。�

分析 (1)由已知得平面QBC∥平面A1AD,從而QC∥A1D,由此能證明Q為BB1的中點(diǎn).
(2)法一:在△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E,∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角,由此求出平面α與底面ABCD所成二面角的大小.
(3)法二:以D為原點(diǎn),DA,DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由此利用向量法能求出平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

解答 (1)證明:∵BQ∥AA1,BC∥AD,
BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,
∴平面QBC∥平面A1AD,
∴平面A1CD與這兩個(gè)平面的交線相互平行,
即QC∥A1D.
∴△QBC與△A1AD的對(duì)應(yīng)邊相互平行,
∴△QBC∽△A1AD,
BQBB1=BQAA1=BCAD=12
∴Q為BB1的中點(diǎn).
(2)解法一:如圖1所示,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E.
又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A,
所以DE⊥平面AEA1,所以DE⊥A1E.
所以∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角.
因?yàn)锽C∥AD,AD=2BC,所以S△ADC=2S△BCA
又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為6,DC=2,
所以S△ADC=4,AE=4.
于是tan∠AEA1=AA1AE=1,∠AEA1=\frac{π}{4}
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為\frac{π}{4}
(3)解法二:如圖2所示,

以D為原點(diǎn),DA,DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)∠CDA=θ,BC=a,則AD=2a.
因?yàn)镾四邊形ABCD=\frac{a+2a}{2}•2sin60°=6,
所以a=\frac{4\sqrt{3}}{3}
從而可得C(1,\sqrt{3},0),A1\frac{8\sqrt{3}}{3},0,4),
所以DC=(1,\sqrt{3},0),\overrightarrow{D{A}_{1}}=(\frac{8\sqrt{3}}{3},0,4).
設(shè)平面A1DC的法向量\overrightarrow{n}=(x,y,1),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}=\frac{8\sqrt{3}}{3}x+4=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.,
\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.,
所以\overrightarrow{n}=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1).
又因?yàn)槠矫鍭BCD的法向量\overrightarrow{m}=(0,0,1),
所以cos<\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}>=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{2},
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為\frac{π}{4}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面平行的性質(zhì)以及空間二面角的求解,建立坐標(biāo)系,求出平面法向量利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅱ)求證:PE⊥平面ABCD;
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16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,E,F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,1),(0,-1),動(dòng)點(diǎn)G滿足:直線EG與直線FG的斜率之積為-\frac{1}{2}
(1)求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程;
(2)⊙O是以EF為直徑的圓,一直線l:y=kx+m與⊙O相切,并與動(dòng)點(diǎn)G的軌跡交于不同的兩點(diǎn)A,B.當(dāng)\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=\frac{2}{3}時(shí),求△AOB的面積.

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(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)P為圓C上的任意一點(diǎn),定點(diǎn)Q(-3,-6),當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.

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(2)求二面角P-AM-D的大�。�

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20.已知地球的半徑為6371千米,上海位于約東經(jīng)121°,北緯31°,臺(tái)北的位置約為東經(jīng)121°,北緯25°,則兩個(gè)城市之間的球面距離約為667千米(結(jié)果精確到1千米)

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17.為觀察高血壓的發(fā)病是否與性別有關(guān),某醫(yī)院隨機(jī)調(diào)查了60名住院患者,將調(diào)查結(jié)果做成了一個(gè)2×2列聯(lián)表,由于統(tǒng)計(jì)員的失誤,有兩處數(shù)據(jù)丟失,既往的研究證實(shí),女性患者高血壓的概率為0.4,如果您是該統(tǒng)計(jì)員,請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答如下問題:
患高血壓不患高血壓合計(jì)
m6
12n
合計(jì)60
(1)求出m,n,并探討是否有99.5%的把握認(rèn)為患高血壓與性別有關(guān)?說明理由;
(2)已知在不患者高血壓的6名男性病人中,有3為患有胃病,現(xiàn)從不患有高血壓疾病的6名男性中,隨機(jī)選出2名進(jìn)行生活習(xí)慣調(diào)查,求這2人恰好都是胃病患者的概率.
附:①臨界值表:
P(K2≥k00.0100.0050.001
k06.6357.87910.828
{K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.在位于城市A南偏西60°相距100海里的B處,一股臺(tái)風(fēng)沿著正東方向襲來,風(fēng)速為120海里/小時(shí),臺(tái)風(fēng)影響的半徑為r(r>50)海里:
(1)若r=70,求臺(tái)風(fēng)影響城市A持續(xù)的時(shí)間(精確到1分鐘)?
(2)若臺(tái)風(fēng)影響城市A持續(xù)的時(shí)間不超過1小時(shí),求r的取值范圍.

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闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞诲€濆畷顐﹀Ψ閿旇姤鐦庡┑鐐差嚟婵敻鎳濇ィ鍐ㄧ厴闁瑰鍋涚粻鐘绘⒑缁嬪尅鏀绘い銊ユ楠炲牓濡歌閸嬫捇妫冨☉娆忔殘閻庤娲栧鍫曞箞閵娿儺娓婚悹鍥紦婢规洟姊绘担铏瑰笡濞撴碍顨婂畷鏉库槈濮樺彉绗夊┑鐐村灦鑿ゆ俊鎻掔墛缁绘盯宕卞Ο鍝勵潔濡炪倕绻掗崰鏍ь潖缂佹ɑ濯撮柤鎭掑劤閵嗗﹪姊洪棃鈺冪Ф缂佺姵鎹囬悰顔跨疀濞戞瑦娅㈤梺璺ㄥ櫐閹凤拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欑粈鍐┿亜閺囧棗娲ら悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿鍔欓弻娑樷枎韫囷絾效闂佽鍠楅悷褏妲愰幘瀛樺闁告繂瀚烽埀顒€鐭傞弻娑㈠Ω閵壯冪厽閻庢鍠栭…閿嬩繆閹间礁鐓涢柛灞剧煯缁ㄤ粙姊绘担鍛靛綊寮甸鍌滅煓闁硅揪瀵岄弫鍌炴煥閻曞倹瀚�