Question

某同學對函數f（x）=xcosx進行研究后，得出以下五個結論：①函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；②對任意實數x，f（x）＞0均成立；③函數的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；④函數y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；⑤當常數k滿足|k|＞1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．其中所有正確結論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：對于①，由于f（-x）=-f（x）是奇函數，函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，故正確；
先畫出原函數f（x）=xcosx的簡圖．由圖可知：②③錯；
對于④，根據cosx的周期性，故函數y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等．故正確；
對于⑤，因cosx=k．其中|k|＞1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點（0，0）．從而進行判斷即可．
解答：解：先畫出原函數f（x）=xcosx的簡圖．
對于①，由于f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx，f（x）=xcosx，
∴f（-x）=-f（x）是奇函數，函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，故正確；
由圖可知：②錯；
對于③，令f（x）=xcosx=0可得x=0或x=kπ+，即函數的圖象與x軸有無窮多個公共點，其公共點坐標為（0，0）和（kπ+，0），
其中（0，0）與（，0），（0，0）與（-，0）相鄰兩公共點的距離為，
其余相鄰兩公共點的距離為π，
則③錯誤；
對于④，因f（x）=xcosx=x即x=0或cosx=1，其有無窮多個解，根據cosx的周期性，故函數y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等．故正確；
對于⑤，因xcosx=kx，即x=0或cosx=k．其中|k|＞1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點（0，0）．故正確．
故所有正確結論的序號是①④⑤．
故答案為：①④⑤．
點評：本題是基礎題，考查三角函數的基本性質，牢記基本知識，基本性質是解好數學題目的關鍵．