Question

已知橢圓具有性質：若A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0且a，b為常數）上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為k_PA，k_PB，那么k_PA•k_PB=-

b2

a2

．類比雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a，b為常數）中，若A，B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a，b為常數）上關于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為k_PA，k_PB，那么

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：規(guī)律型,推理和證明

分析：由橢圓到雙曲線進行類比，不難寫出關于雙曲線的結論：k_PA•k_PB=

b2

a2

，其中點A、B是雙曲線上關于原點對稱的兩點，P是雙曲線上的任意一點．然后設出點P、A、B的坐標，代入雙曲線方程并作差，變形整理即可得到kPA•kPB=

b2

a2

是與點P位置無關的定值．

解答： 解：由若A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0且a，b為常數）上關于原點對稱的兩點，
點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，
并分別記為k_PA，k_PB，那么k_PA•k_PB=-

b2

a2

．
雙曲線類似的性質為：
若A，B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a，b為常數）上關于原點對稱的兩點，
點P是雙曲線上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，
并分別記為k_PA，k_PB，
那么k_PA與k_PB之積是與點P位置無關的定值

b2

a2

．
故答案為：kPA•kPB=

b2

a2

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．