Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a（a＞0），且滿足a_n+1=a_n²+a₁（n∈N^*），若數(shù)列{a_n}滿足：對于任意正整數(shù)n≥2，都有0＜a_n≤2，則稱實(shí)數(shù)a為數(shù)列{a_n}的伴侶數(shù)，記A事所有伴侶數(shù)構(gòu)成的集合．
（1）若a∈（1，+∞），求證：a∉A；
（2）若a∈（0，

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4

），求證：a∈A．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,推理和證明

分析：本題（1）可以推導(dǎo)出a₂＞2，利用反證法證明0＜a_n≤2對于任意正整數(shù)n≥2不能恒成立，得到實(shí)數(shù)a不是為數(shù)列{a_n}的伴侶數(shù)，得到本題結(jié)論．（2）當(dāng)a∈（0，

1

4

）時，猜想：0＜a_n＜

1

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，n∈N^*．結(jié)合遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立，得到當(dāng)a∈（0，

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）時，a是為數(shù)列{a_n}的伴侶數(shù)，即a∈A，得到本題結(jié)論．

解答： 證明：（1）當(dāng)a∈（1，+∞）時，
∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，a_n+1=a_n²+a₁（n∈N^*），
∴a2=a12+a1＞1+1=2，
∵若數(shù)列{a_n}滿足：對于任意正整數(shù)n≥2，都有0＜a_n≤2，則稱實(shí)數(shù)a為數(shù)列{a_n}的伴侶數(shù)，記A事所有伴侶數(shù)構(gòu)成的集合．
又a₂＞2，
∴實(shí)數(shù)a不是為數(shù)列{a_n}的伴侶數(shù)，
∴a∉A．
（2）當(dāng)a∈（0，

1

4

）時，猜想：0＜a_n＜

1

2

，n∈N^*．
下面用數(shù)學(xué)歸綱法證明．
（i）當(dāng)n=1時，
∵a₁=a∈(0，

1

4

)，∴0＜a₁＜

1

2

，
∴當(dāng)n=1時，猜想成立；
（ii）假設(shè)n=k，k≥2時，有0＜a_k＜

1

2

，
則：ak+1=ak2+a＞0，
ak+1=ak2+a＜(

1

2

)2+

1

4

=

1

2

，
∴0＜a_k+1＜

1

2

．
即n=k+1時，猜想也成立．
由（i）（ii）知：當(dāng)a∈（0，

1

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）時，猜想：0＜a_n＜

1

2

，n∈N^*成立．
∵數(shù)列{a_n}滿足：對于任意正整數(shù)n≥2，都有0＜a_n≤2，則稱實(shí)數(shù)a為數(shù)列{a_n}的伴侶數(shù)，記A事所有伴侶數(shù)構(gòu)成的集合，
∴當(dāng)a∈（0，

1

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）時，實(shí)數(shù)a為數(shù)列{a_n}的伴侶數(shù)，
即a∈A．

點(diǎn)評：本題考查了舉反例證明、數(shù)學(xué)歸納法證明，還考查了新定義問題，本題有一定的難度，證明方法多樣，思維質(zhì)量高，屬于難題．