Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當時，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有兩個元素，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）當a＝1時，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，直接解不等式f（x）1即可；

（2）化簡關(guān)于x的方程f（x）+2x＝0，通過分離變量推出a的表達式，通過解集中恰有兩個元素，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求a的取值范圍；

（3）在R上單調(diào)遞減利用復合函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，∴令，化簡不等式，轉(zhuǎn)化為求解不等式的最大值，然后求得a的范圍．

（1）當時，，

∴，解得，

∴原不等式的解集為.

（2）方程，

即為，

∴，

∴，

令，則，

由題意得方程在上只有兩解，

令, ,

結(jié)合圖象可得，當時，直線和函數(shù)的圖象只有兩個公共點，

即方程只有兩個解．

∴實數(shù)的范圍.

（3）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，

最小值為，

∴，

由題意得，

∴恒成立，

令，

∴對，恒成立，

∵在上單調(diào)遞增，

∴

∴，

解得，

又，

∴．

∴實數(shù)的取值范圍是.