Question

兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，那么它們共有多少相同的項？

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：顯然，已知的兩數(shù)列的所有相同的項將構(gòu)成一個新的數(shù)列{an}，這樣問題就轉(zhuǎn)化為一個研究數(shù)列{an}的項數(shù)問題了． 　　解法一：設(shè)已知的兩數(shù)列的所有相同的項將構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11， 　　又?jǐn)?shù)列5，8，11，…的通項公式為an＝3n＋2， 　　數(shù)列3，7，11，…的通項公式為bn＝4n－1． 　　∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且d＝12．∴cn＝12n－1 　　又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1＜302 　　得n≤25，可見已知兩數(shù)列共有25個相同的項． 　　解法二：∵an＝3n＋2，bn＝4n－1， 　　設(shè)an＝bm，則有3n＋2＝4m－1(n，m∈N*)，即n＝m－1(n，m∈N*)， 　　要使n為正整數(shù)，m必須是3的倍數(shù)． 　　設(shè)m＝3k(k∈N*)，代入前式得n＝4k－1， 　　又∵1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100， 　　解得1≤k≤25，∴共有25個相同的項． 　　評析：解法一是從兩個數(shù)列的公共項組成的數(shù)列的特征來研究；解法二是從兩數(shù)列公共項之間的關(guān)系來研究的．本題告訴我們這樣一個結(jié)論：兩個等差數(shù)列的公共項組成的數(shù)列(不改變原來的順序)仍是等差數(shù)列，且公差是已知兩等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)．