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13.已知O是△ABC外接圓的圓心,若4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overline{OC}$=$\overrightarrow{0}$,則cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$.

分析 由$\overline{OC}$=-$\frac{1}{6}$(4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$).兩邊平方,由外接圓的性質,即可求得cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$,且∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB,根據半角公式即可求得cosC.

解答 解:由O是△ABC外接圓的圓心,則丨$\overline{OA}$丨=丨$\overrightarrow{OB}$丨=丨$\overline{OC}$丨=R,由4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overline{OC}$=$\overrightarrow{0}$,
且$\overline{OC}$=-$\frac{1}{6}$(4$\overline{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$).
平方可得 R2=$\frac{1}{36}$(16R2+40R2cos∠AO,B+25R2),解得:cos∠AOB=-$\frac{1}{8}$,
由∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB,
則cos∠ACB=cos$\frac{1}{2}$∠AOB=$\sqrt{\frac{1+cos∠AOB}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$,
則cosC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$,
故答案為:$\frac{\sqrt{7}}{4}$.

點評 本題考查向量的運算和三角形外心的性質和應用,半角公式,解題時要認真審題,仔細解答,注意向量運算法則的靈活運用,屬于中檔題

練習冊系列答案
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