Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．
（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，求實數(shù)a、b的值；
（2）在（1）的條件下，證明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在區(qū)間（1，eb）內(nèi)實根的個數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），

∴ ，g'（x）=2ax﹣1．

∵曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，

∴ ，解得

（2）解：設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0

則 ，

∴當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)﹣ ＜x＜0時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y＞0；當(dāng)x＜﹣ 時，y＞0．

∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

∴F（x）最大值為F（1）=ln1﹣（1﹣1）=0．

∴F（x）=f（x）﹣g（x）≤0，即f（x）≤g（x）

（3）解：∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e

∴f（x）﹣g（x）=x轉(zhuǎn)化為blnx﹣x2=0，

令G（x）=blnx﹣x2，則 ，

由 =0，得x= ，

∵x∈（1，eb）且b＞2e，

∴ ，eb＞ ，

∴由G′（x）＞0得1＜x＜ ，由G′（x）＜0，得 ，

∴G（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減

∴當(dāng)x= 時， ，

∵b＞2e，∴ ，∴ ，∴

又∵G（1）=﹣1＜0G（eb）=blneb﹣e2b=b2﹣e2b=（b+eb）（b﹣eb）＜0，

∴方程f（x）﹣g（x）=x在區(qū)間（1，eb）內(nèi)有兩個實根

【解析】（1）由 ，g'（x）=2ax﹣1，利用曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，能求出實數(shù)a、b的值．（2）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0，則 ，由此推導(dǎo)出F（x）最大值為F（1）=0．從而能夠證明f（x）≤g（x）．（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e，知f（x）﹣g（x）=x轉(zhuǎn)化為blnx﹣x2=0，令G（x）=blnx﹣x2 ， 則 ，由此能夠推導(dǎo)出方程f（x）﹣g（x）=x在區(qū)間（1，eb）內(nèi)有兩個實根．