Question

（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)（a＞0，b，cÎR），曲線在點(diǎn)P(0，f (0))處的切線方程為．

（Ⅰ）試確定b、c的值；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a使得過點(diǎn)（0，2）可作曲線的三條不同切線，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)（0，2）可作曲線的三條不同切線．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由得，

，        ……2分

又由曲線在點(diǎn)P(0，)處的切線方程為，得，

，故．……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得過點(diǎn)（0，2）可作曲線的三條不同切線，并設(shè)切點(diǎn)為．

則切線的斜率為，

切線方程為，．

∵切線過點(diǎn)（0，2），∴．

于是得，              （*）                  ……6分

由已知過點(diǎn)（0，2）可作曲線的三條不同切線，則方程（*）應(yīng)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根．

令，則．

令，得或．……8分

由于，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，所以函數(shù)在處取極大值，在處取極小值．

要使方程（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，，得．……11分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)（0，2）可作曲線的三條不同切線．……12分

注：如有其它解法，斟情給分．

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，簡(jiǎn)單不等式解法。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，（2）作為存在性問題，先假定存在實(shí)數(shù)a使得過點(diǎn)（0，2）可作曲線的三條不同切線，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，認(rèn)識(shí)函數(shù)特征，轉(zhuǎn)化成只需使方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，得到a的不等式。